一课研究之中美教材“集合”内容的横向比较分析-一课研究
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本期内容有哪些
听一听：韦恩图的起源
读一读：中美教材“集合”内容的横向比较分析
想一想：时间都去哪儿了
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轻轻松松听听书
对于韦恩图我们都已经很熟悉了，但您知道最早它是怎么来的吗？点开音频，听一听吧思凯乐户外！
本内容选自《韦恩图的起源》，作者张厚品。
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中美教材“集合”内容的横向比较分析
集合在数学领域具有重要地位。集合论的基础是由德国数学家康托尔在19世纪70年代奠定的，经过一大批卓越的科学家半个世纪的努力，到20世纪20年代慢慢确立了其在现代数学理论体系中的基础地位，可以说，现代数学各个分支的几乎所有成果都构筑在严格的集合理论上保靖生活网。所以，我们在小学数学教学中也将集合的内容进行了适当的渗透。但在众多版本的小学数学教材中，国内只有人教版将集合内容单独作为一课出现在数学广角中。而美国加州版教材中也多次将集合内容作为正式例题出现清华认证。因此笔者选取：国内人民教育出版社2014版（以下简称人教版）和美国加州CaliforinaMathematics2009版（以下简称加州版）这两个版本的教材，对集合这一内容做横向比较分析。（注：本文仅比较呈现韦恩图的集合内容，不包含教材中其他渗透集合的教学内容。）
差异比较
01
编排结构比较
人教版和加州版在集合中所选取的教学内容和教学情境大同小异，但是在知识的编排上存在着较大的差异。
（1）从年段分布看
人教版分布在3-6年级，其中主要集中于3年级；加州版分布于1年级和5-7年级（按加州5-3学制分析，6、7应为初中）。人教版中第一次正式出现韦恩图为三年级上册孙维世，而加州版在一年级的图形分类中就已经出现了韦恩图，但第一次用韦恩图解决问题出现在五年级第四单元寻找公因数中，直到七年级第一次在“解决问题专栏”中出现“会用韦恩图解决问题”的例题。
（2）从内容分布看
从例题和习题数量上来看，两个版本的差异不大。但人教版分布相对集中，主要集中在三年级上册的一个单元中，之后少量应用于求公因数、公倍数和图形的分类中。加州版则将生活中的“重叠问题”作为寻找最大公因数这一内容的铺垫，出现在“get ready for the lesson（课程学习准备）”板块中。并将相似的问题在不同年级中循环往复出现，螺旋上升。例如，加州版用韦恩图找公因数第一次出现在五年级的习题中，之后在六年级的例题中再次出现。
02
集合类型分布比较
人教版和加州版所涉及到的集合类型相似，从集合元素个数分类，均涉及到了有限集（人数、因数个数等）和无限集（图形概念和数系扩充等），但均未出现空集。从集合关系分类，均涉及到了交集、并集、补集、子集、全集。
人教版和加州版中最常见的集合类型用韦恩图表示可如下图所示：
从示意图中不难发现，人教版基本是“非A即B”类型，而加州版较多涉及到了在全集中，除了有交集的“A”、“B”两类外，还存在“非A非B”的“C”，这种类型从结构上来看更为复杂。将其中所能包含的集合关系进行分解梳理如下图所示：
从上图可见，人教版的结构比较单一铁血大旗门，交集和子集、并集和全集都可以用同一区域表示；加州版的模型结构相对较为复杂，但是对不同集合类型的表征更多样化，区分度更高。对于初学者来说，复杂的结构在学习初期可能具有一定的挑战性，但其对不同集合类型可以有明显不同的表征形式，能帮助学习者对不同的集合类型有更直观、准确的感知。
03
集合应用比较
除了相对集中的集合问题教学，集合的内容也渗透在教材中的其他板块。将人教版和加州版中集合所出现的教学板块做梳理，通过比较我们发现，两个版本均涉及到了“重叠问题”、寻找“最大公因数”、“最大公倍数”这样一些内容哈哈镜花缘，但在起到“分类”这一作用时，虽然都有数的分类和图形的分类，但在数的分类中，分类依据有所不同；在图形的分类中，加州版根据图形的形状、颜色等直观视觉特点进行分类，而人教版在学习了图形概念后，张瑶萱将概念结构化北顶娘娘庙。另，用韦恩图进行生活物品的分类和数系扩充的表征是加州版独有的，特别是数系的表征从六年级学习有理数开始一直到实数的学习，一共反复出现了4次。如下图所示：
另外，加州版中将韦恩图与百分数相结合，不但是对两个知识点综合、灵活地运用，还可以利用百分数特有的性质来说明韦恩图中各个集合之间的关系。
04
教学内容比较
深入比较首次出现韦恩图的教学内容，可以帮助我们更加直观、细致地感知两种教材的异同。而每一个知识的初次认知如“种子”一般，用手柄玩的游戏对学生的认知结果有着较大的影响。因此，笔者分别对人教版和加州版首次出现韦恩图的教学"集合"的例题和习题进行具体比较贴膜boys，发现两版教材均将“交并集”作为教学的主要内容，但其又略有不同。人教版将解决生活中的重叠问题作为集合教学的重点，而加州版则运用于分类。人教版对集合元素的数量提出了计算要求陈道明冷眼图，而加州版仅要求对元素进行列举。见下图：
【人教版】
【加州版】
配套练习从数量上看，人教版配有7个习题，加州版配有3个习题，人教版多于加州版。从习题类型上来看，由于教学的重点不同常山人才网，人教版侧重于集合元素数量的计算，而加州版侧重将不同类型的元素填入合适的集合圈中。
【人教版】
【加州版】
比较启示
01
前有孕伏，搭学习脚手架
通过比较可以发现，人教版三年级的集合教学相比于加州版主要有两个难点：
（1）在学生还未感知如何用韦恩图对元素进行分类时，直接对元素个数的计算提出了要求；（2）在还未求出交集元素个数时，直接要求求并集的元素个数。
针对这两个难点，我们可以参考加州版“前有孕伏，螺旋上升”的方法，在学习本课之前的分类教学中对韦恩图进行铺垫。并在重叠问题的自我探究阶段给有困难的孩子学习的脚手架，先提出“两项比赛都参加的有几人？”作为中间问题，降低探究难度。
02
习题改编，增加集合类型
通过上面梳理，我们发现人教版和加州版都没有出现空集，加州版的主要模型结构似乎更有助于学习者初步感知不同的集合类型冷梦梅。因此，我们可以利用已有的教学资源，将习题稍作改编，以达到增加集合类型，丰富集合结构模型层次的目的。如这道课后习题前两小题在类型和难度上与之前的问题无明显差异，因此在“提出其他问题”中小做文章：
还可提问：
（1）如果两个馆都没参观的有15人徐凌晨，一共有多少人老广记？
（2）如果全班37人，两个馆都没参观的有多少人？
03
均衡分布，拓宽应用领域
集合对数学认知活动的突出支持主要体现在三个方面：语言转译功能（重叠问题）；形象推理功能（概念逻辑关系）；分类解析功能（分类讨论）。人教版主要引用于前两个功能，而对第三种功能少有涉及马尔塞尤。同时韩彩英三级 ，通过教材对比我们可以发现，人教版相较于加州版内容分布非常集中爱人随风而来，涉及领域也与人教版略有差异。因此，教师也可以将集合在其他教学内容中渗透芝麻黑铺路石，如：在一年级图形分类中，就可以尝试用韦恩图来表示某一类型；将分数、百分数与集合问题相结合；在解决问题中设计分类讨论的问题；将集合更多地运用于概念结构的建构和梳理等。
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趣味数学时间都去哪儿了
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⑨就是这一天，还是自己的生日！请问，读书时间如此之少，学生又怎么能考及格呢？ 这是网络中流传已久的一则笑话，大家在捧腹之余，其实用集合的知识稍作分析位面官商，就能发现其中的问题所在了。
你若盛开 蝴蝶自来
本期审核： 张麟 张银儿