一道经典几何概型题目的深度解读-许康华竞赛优学
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王位高，广东信宜砺儒中学高级教师
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概率题, 是高考数学题中常考的内容; 概率与线性规划综合交汇的题目, 却是很多同学觉得陌生的内容.由于几何概型的概率公式中涉及到事件的区域为面积的情形, 而线性规划中的可行域也出现几何图形的面积, 从而可以交汇一起命制出新颖的概率题.下面我们就以一道经典的几何概型题目为例进行深度解读, 希望能帮助同学们透彻理解几何概型与线性规划交汇的题目.
题目: 甲乙两人相约在7: 00到8: 00在某地会面, 先到者等候另外一个人20分钟, 过时就可以离去, 试求这两个人能会面的概率.
我们思考求解此题的时候, 很自然利用古典概型(即等可能事件的概率) , 首先要求所有基本事件的个数, 反复看题, 会发现题目中只有这几个数据: 7: 00到8: 00(即一个小时), 20分钟.所有基本事件的个数还真找不到, 很明显, 答案不可能是20/60=1/3,霍晓红 那太简单了.我们可以这样思考, 假如第一个人7: 00到, 那么第二个人必须在7: 00-7: 20这段时间里到达才行。这样的概率的确是20/60 = 1/3, 但假如第一个人在7: 50到, 那么第二个人必须在7: 50-8: 00之间到达, 这样概率就变成10/60 = 1/6了.一道概率题的结果应该是唯一的牟玉昌, 不可能变来变去的.不错, 甲乙两人要会面, 他们到达的时间范围是7: 00-8: 00, 也就是60分钟. 他们到底在哪个时刻到, 这完全是随机的, 可能7: 01, 也可能是7:59, 并且两个到达的时间互不影响. 这可以看做两个变量, 我们于是联想到坐标系中的一个点, 它毫无规则地在一个固定区域内随机出现苏三八连杀 , 并且它的横坐标, 纵坐标互不影响. 这样就好办了, 我们可以直接设甲, 乙两人到达的时间为x, y山竹树, 题目有个范围(0 ≦ x ≦ 60索尼影业, 0 ≦ y≦ 60) 无上圣尊, 建立坐标系, 施展线性规划. 显然点P(x, y)就落在这个60 × 60的正方形内. 那么, 当x, y满足什么条件时, 才算两人会面了呢? 题目条件中说, 两人到达的时刻之差必须在20分钟以内, 这样才算见面.可见, x, y必须满足|x – y| ≦20才行, 而|x – y| ≦20又等价于-20 ≦x– y ≦20, 即可以转化为两个不等式:
-20 ≦x– y外祖母悖论, x– y ≦20
这样一来六盘水水怪, 题目应该是一个几何概型问题, 所求的概率也就转化成了求阴影部分的面积占正方形面积的比例.从而可以求得甲乙两个人能会面的概率:
我们对这道经典的几何概型题目进行了透彻分析, 如果大家到此止步, 就等于入到宝山空手而归, 浪费了一个很好的学习研究机会狼亲狈友, 我们应该继续探究.
变式1. 甲乙两人相约于下午1:00-2:00之间到某车站乘公共汽车外出, 他们到达车站的时间是随机的, 设在1:00—2:00之间有四班客车开出, 开车时间分别是: 1: 15, 1: 30,1: 45, 2: 00, 求他们在下述情况下同坐一班车的概率: (1) 约定见车就乘; (2) 约定最多等一班车.
分析: 类比上面的问题, 我们可以设甲、乙到站的时间分别是x, y, 则由题意可得:
1 ≦ x ≦2肖氏反射弧, 1 ≦y ≦2
所表示的区域为图2中的16个小正方形方格. 我们先解决第(1)问马甸大集, 约定见面就乘车的事件所表示的区域为图2中4个黑的小方格所示, 由几何概型可得概率为: 4/16 = 1/4; 同样的道理, (2)中约定最多等一班车的事件所表示的区域为图3中10个黑的小方格所示, 由几何概型可得概率为: 10/16 = 5/8.
感悟: 本题是上面的经典几何概型题——约会问题的变形贺梦婷, 我们利用线性规划作出表示事件的所在区域, 利用数形结合思想解决问题.
变式2. 设一根木条AB的长度为6, 在木条AB上任取两点(端点A, B除外) , 将木条AB分成了三段．求这三段木条可以构成三角形的概率是多少?
分析: 这道题条件更少, 条件中只有一个“木条AB = 6”, 我想大家也都知道要使用线性规划方法了. 问题是怎么用. 刚才分析过的经典题, 条件里就两个人, 一个设x名片王, 一个设y, 清楚明白, 这个题目只知道木条总长度, 三段有三个变量, 当然我们不会设x, y, z, 这样就很难办了, 考虑知道木条总长度, 我们可以设其中两条木条长度分别为x, y,则第三条木条长度为6 – x– y, 这就又转化为两个变量表示了. 由此可得: 全部结果所构成的区域为:
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